Question

已知a∈R，f（x）=（ax²-2x）e^-x，其中e为自然对数的底数．
（1）当a≥0时，求函数f（x）的极值点；
（2）若f（x）在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围；
（3）设n∈N^*，试证明，这里n!=1×2×…×n．

Answer 1

解：函数f（x）的定义域为R
f′（x）=（2ax-2）e^-x-（ax²-2x）e^-x=[-ax²+2（a+1）x-2]e^-x，
（I）当a=0时，f′（x）=（2x-2）e^-x，
由f′（x）＜0，得x＜1，f′（x）＞0得x＞1
∴x=1是函数f（x）的极小值点
当a＞0时，令f′（x）=0得-ax²+2（a+1）x-2=0
解得该方程的两个实根为，，显然x₁＜x₂，
随着x的变化，f′（x）、f（x）的变化请况如下表

∴是函数的极小值点，是函数的极大值点
（2）f'（x）=[-ax²+2（a+1）x-2]e^-x，
令g（x）=ax²-2（a+1）x+2
①若a=0，则g（x）=-2x+2，在（-1，1）内，g（x）≥0，
即f'（x）≤0，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．
②若a＞0，则g（x）=ax²-2（a+1）x+2，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=＞1，
∵g（1）=-a＜0，g（-1）=3a+4＞0，即在（-1，1）内g（x）先正后负，f′（x）先负后正，
函数f（x）在区间[-1，1]上不可能单调
③若a＜0，则g（x）=ax²-2（a+1）x+2，其图象是开口向下的抛物线，
当且仅当g（-1）≥0且g（1）≥0，即-≤a＜0时，在（-1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0，
函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．
综上所述，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减时，a的取值范围是-≤a≤0．
（3）由（1）知，当a=0时，f（x）=（-2x）e^-x，在x=1处取得最小值
∴对?x∈R，（-2x）e^-x≥f（1）=-2e^-1，即xe^-x，≤e^-1，e^x≥ex
令x=n，则eⁿ≥en，即e≥e，e²≥2e，e³≥3e…，eⁿ≥en
将上述不等式左右分别相乘得：e^1+2+3+…+n=n!eⁿ，
即
分析：（1）先确定函数的定义域然后求出函数的导涵数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，然后根据极值的定义判定极值即可．
（2）令导函数f′（x）=[-ax²+2（a+1）x-2]•e^-x≤0在x∈[-1，1]时恒成立即可求出a的范围．
（3）利用（1）中的结论，构造一个函数不等式，进而转化为数列不等式，利用全正同向不等式相乘，不等号方向不变性即可证得结论
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数单调区间等有关基础知识，不等式恒成立问题的解法，函数与数列的综合运用，考查运算求解能力，转化化归能力，分类讨论能力，难度较大．