Question

已知四棱锥P-ABCD的直观图和三视图如图所示，E是PB的中点．
（Ⅰ）求三棱锥C-PBD的体积；
（Ⅱ）若F是BC上任一点，求证：AE⊥PF；
（Ⅲ）边PC上是否存在一点M，使DM∥平面EAC，试说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据该四棱锥的三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2和1的矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=2，根据体积公式即可求出三棱锥C-PBD的体积．
（Ⅱ）根据BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A，满足线面垂直的判定定理，则BC⊥平面PAB，从而BC⊥AE，又在△PAB中，PA=AB，E是PB的中点，
则AE⊥PB，而BC∩PB=B，则AE⊥平面PBC，根据线面垂直的性质可知AE⊥PF；
（Ⅲ）存在点M，可以使DM∥平面EAC，连接BD，设AC∩BD=0，连接EO．在△PBD中，EO是中位线，则PD∥EO，又EO?平面EAC，PD?平面EAC，根据线面平行的判定定理可知PD∥平面EAC，从而可知当点M与点P重合时，可以使DM∥平面EAC．

解答：解：（Ⅰ）由该四棱锥的三视图可知，四棱锥P-ABCD
的底面是边长为2和1的矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=2．
∴VC-PM=VC-BCD=

1

3

×

1

2

×1×2×2=

2

3

．（4分）
（Ⅱ）证明：∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB．∴BC⊥AE．
又在△PAB中，∵PA=AB，E是PB的中点，
∴AE⊥PB．
∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC．
∴AE⊥PF．（8分）
（Ⅲ）存在点M，可以使DM∥平面EAC．
连接BD，设AC∩BD=0，连接EO．
在△PBD中，EO是中位线，∴PD∥EO．
又∵EO?平面EAC，PD?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．
∴当点M与点P重合时，可以使DM∥平面EAC．（12分）

点评：考查线面平行、线线垂直的判定定理以及体积的求解．涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强，属于中档题．