Question

定义在R上的函数y=f（x），对于任意的m、n∈（0，+∞）都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）计算f（1）；
（2）证明函数y=f（x）在（0，+∞）上时单调函数；
（3）比较f（

m+n

2

）与

f(m)+f(n)

2

的大小，并证明你的结论．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）用赋值法求f（1）的值，因为定义在（0，+∞）上的函数f （x）对于任意的m，n∈（0，+∞），满足f（m•n）=f（m）+f（n），所以只需令m=n=1，
即可求出f（1）的值．
（2）用函数单调性的定义证明，步骤是，先设所给区间上任意两个自变量x₁，x₂，且x₁＜x₂，再用作差法比较f（x₁），f（x₂）的大小，比较时，借助f（m•n）=f（m）+f（n），把x₂用

x2

x1

x1表示即可．
（3）对于x＞0，f（x）=f(

x

•

x

)=f(

x

)+f(

x

)=2f(

x

)，从而f(

x

)=

1

2

f(x)．；再由

m+n

2

≥

mn

及f（x）在（0，+∞）上是减函数，易得f(

m+n

2

)≤f(

mn

)，而f(

mn

)=

1

2

f(mn)=

f(m)+f(n)

2

，结果可得．

解答： 解：（1）∵定义在（0，+∞）上的函数f （x）对于任意的m，n∈（0，+∞），满足f（m•n）=f（m）+f（n），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）．∴f（1）=0
证明：（2）设0＜x₁＜x₂，∵f（m•n）=f（m）+f（n）即f（m•n）-f（m）=f（n）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

x1）-f（x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

）．
因为0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，而当x＞1时，f（x）＜0，从而f（x₂）＜f（x₁）
于是f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）对于x＞0，f（x）=f(

x

•

x

)=f(

x

)+f(

x

)=2f(

x

)，∴f(

x

)=

1

2

f(x)．
∵

m+n

2

≥

mn

，∵f（x）在（0，+∞）上是减函数
∴f(

m+n

2

)≤f(

mn

)，而f(

mn

)=

1

2

f(mn)=

f(m)+f(n)

2

，
∴f（

m+n

2

）≤

f(m)+f(n)

2

．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查灵活赋值求值的能力以及灵活变形证明函数单调性的能力．