Question

已知函数f（x）=

kx-(k+1)

x

（1）若函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，求k的取值范围；
（2）证明：当k=2时，不等式f（x）＜lnx对任意x＞0恒成立；
（3）证明：ln（1×2）+ln（2×3）+L+ln[n（n+1）]＞2n-3．

Answer 1

分析：（1）对函数求导数可得f′(x)=

k+1

x2

，由已知得，f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，可得结果．
（2）本题的思路较为清晰，那就是构造函数，令g(x)=lnx+

3

x

-2，利用导数g′(x)=

x-3

x2

转化为函数的最值问题易得结论．
（3）在（2）的基础上来解答本题很容易解决，由（2）得lnx＞2-

3

x

，于是求出通项a_n=ln[n（n+1）]的关系，然后利用数列求和的裂项相消法可得结论．

解答：解：（1）∵f（x）=k-

k+1

x

，∴f′(x)=

k+1

x2

∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，∴f′(x)=

k+1

x2

≥0对x∈（0，+∞）恒成立．
∴k+1≥0，得k≥-1
而k=-1时f′（x）=0，f（x）=-1为常函数，不满足条件，
∴k＞-1
（2）证明：当k=2时，∵f(x)=2-

3

x

∴不等式f（x）＜lnx对任意x＞0恒成立，等价于lnx+

3

x

-2＞0对任意x＞0恒成立．
令g(x)=lnx+

3

x

-2，则g′(x)=

x-3

x2

∴g（x）在（0，3）上递减，在（3，+∞）上递增，
∴g（x）≥g（3）=ln3-1＞0，即lnx+

3

x

-2＞0对任意x＞0恒成立．
∴不等式f（x）＜lnx对任意x＞0恒成立．
（3）证明：由（2）知，lnx+

3

x

-2＞0对任意x＞0恒成立，即lnx＞2-

3

x

．
∵n∈N^*，
∴ln[n（n+1）]＞2-

3

n(n+1)

=2-3(

1

n

-

1

n+1

)，
∴ln（1×2）+ln（2×3）+…+ln[n（n+1）]＞2n-3(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2n-3(1-

1

n+1

)＞2n-3

点评：本题考查导数在解决问题中的应用，解题的关键求出函数的导数f′（x）≥0恒成立来解答参数k的值，本题第二小题是一个恒成立的问题，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题．在（3）中的构造法解决问题时要对由函数到数列的特殊化要求，思路要认真严谨，避免过度太大，导致解题粗枝大叶的现象发生．