Question

11．如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点．
（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；
（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；
（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD交AC于O，连接EO．证明EO∥QB，即可证明QB∥平面AEC．
（Ⅱ）证明CD⊥AE，AE⊥QD．推出AE⊥平面QDC，然后证明平面QDC⊥平面AEC．
（Ⅲ）通过多面体ABCEQ为四棱锥Q-ABCD截去三棱锥E-ACD所得，计算求解即可．

解答 （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接EO．
因为 E，O分别为QD和BD的中点，则EO∥QB．（2分）
又 EO?平面AEC，QB?平面AEC，（3分）
所以 QB∥平面AEC．（4分）
（Ⅱ）证明：因为矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，CD?平面ABCD，CD⊥AD，
所以CD⊥平面ADPQ．（6分）
又AE?平面ADPQ，所以CD⊥AE．（7分）．
因为AD=AQ，E是QD的中点，所以AE⊥QD．（8分）
所以AE⊥平面QDC．（9分）
所以平面QDC⊥平面AEC．（10分）
（Ⅲ）解：多面体ABCEQ为四棱锥Q-ABCD截去三棱锥E-ACD所得，（12分）
所以${V_{ABCEQ}}={V_{Q-ABCD}}-{V_{E-ACD}}=\frac{3}{4}{V_{Q-ABCD}}=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×1×2×2=1$．（14分）

点评 本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查计算能力．