Question

如图，已知PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于点C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长为3r，则
求：tan∠APB．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：推理和证明

分析：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．利用切线求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=

3

2

r．利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF=

2

3

FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．

解答： 解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．
∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E
∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，
∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，
∴PA=PB=

3

2

r．
在Rt△PBF和Rt△OAF中，

∠FAO=∠FBP ∠OFA=∠PFB

，
∴Rt△PBF∽Rt△OAF．
∴

AF

FB

=

AO

BP

=

r

3 2 r

=

2

3

，
∴AF=

2

3

FB，
在Rt△FBP中，
∵PF²-PB²=FB²
∴（PA+AF）²-PB²=FB²
∴（

3

2

r+

2

3

BF）²-（

3

2

）²=BF²，
解得BF=

18

5

r，
∴tan∠APB=

BF

PB

=

18 5 r

3 2 r

=

12

5

．

点评：本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．