Question

19．已知sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，（0＜θ＜π），求tanθ的值．

Answer 1

分析 直接利用同角三角函数的基本关系式，与已知条件求出sinθ、cosθ即可

解答 解：θ∈（0，π），0＜sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$＜1，①∴θ∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$））．
两边平方可得sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=$\frac{2}{9}$，
∴2sinθcosθ=$-\frac{7}{9}$，
∴sinθ-cosθ=$\frac{4}{3}$②
由①②得sinθ=$\frac{4+\sqrt{2}}{6}$，cosθ=$\frac{\sqrt{2}-4}{6}$．
所以tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{4+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-4}$=-$\frac{9+4\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，注意角的范围的确定是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．