Question

【题目】已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）．

（1）求证：无论m取什么实数，直线l恒过第一象限；
（2）求直线l被圆C截得的弦长最短时m的值以及最短长度；
（3）设直线l与圆C相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R得：（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）=0，

∵m∈R，

∴ ，得x=3，y=1，

故l恒过定点D（3，1）

∵D（3，1）在第一象限，

∴直线l恒过第一象限；

（2）解：因为（3﹣1）2+（1﹣2）2=5＜25，

则点D在圆C的内部，直线l与圆C相交．

圆心C（1，2），半径为5，|CD|= ，

当截得的弦长最小时，l⊥CD，由于kCD= =﹣ ，

则l的斜率为2，即有﹣ =2，解得m=﹣ ．

此时最短弦长为2 =4 ，

故当m=﹣ 时，直线被圆截得的弦最短，最短的弦长是4

（3）解：设M（x，y），则由CM⊥DM得 =﹣1，∴x2+y2﹣4x﹣3y+5=0．
【解析】（1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点；（2）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长；（3）由CM⊥DM得AB中点M的轨迹方程．