Question

已知直线过坐标原点，抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，若点和点关于的对称点都在上，求直线和抛物线的方程．

Answer 1

直线方程为，抛物线方程为

依题意设抛物线的方程可写为，且轴和轴不是所求直线．
又过原点，因而可设的方程为           ①
设分别是关于的对称点，因而，
直线的方程为          ②
由①，②联立解得与的交点的坐标为．
又为的中点，从而点的坐标为
 ③
同理得点的坐标为            ④
又均为抛物线上，由③得，
由此知，即         ⑤
同理由④得，即，
从而，整理得．
解得．
但当时，由③知．
这与在抛物线上矛盾，故舍去．
设，则直线的方程为．
将代入⑤，求得．
所以直线方程为，抛物线方程为．