Question

设f（x）=6cos²x-2

3

sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当-

π

4

≤x≤

π

3

时，求函数f（x）的值域；
（3）将函数f（x）的图象向右平移

π

3

个单位，得y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先通过函数的三角变换变形成余弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和单调区间
（2）直接利用定义域求函数的值域．
（3）函数图象的变换符合左加右减的性质．

解答： 解：（1）f（x）=6cos²x-2

3

sinxcosx=2

3

cos(2x+

π

6

)+3．
f（x）的最小正周期为：π；
令-π+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ（k∈Z），
解得：-

7π

12

+kπ≤x≤kπ-

π

12

，
函数的单调递增区间为：[-

7π

12

+kπ，kπ-

π

12

]（k∈Z）；
（2）由于：-

π

4

≤x≤

π

3

，
所以：-

π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
-

3

2

≤cos(2x+

π

6

)≤1，
进一步解得函数f（x）的值域：[0，2

3

+3]．
（3）由于f（x）=2

3

cos(2x+

π

6

)+3把图象向右平移

π

3

个单位得到：g（x）=2

3

cos[2(x-

π

3

)+

π

6

]+3
即：g（x）=2

3

sin2x+3

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，余弦型函数的最小正周期，和单调区间，利用函数的定义域求三角函数的值域，函数图象的平移变换问题．