Question

已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）证明f（x）在（0，1）上为减函数；
（2）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；
（3）当λ取何值时，方程f（x）=λ在R上有实数解．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义证明．（2）利用函数的周期性和奇偶性求对应的解析式．（3）利用函数的性质求函数f（x）的值域即可．

解答：解：（1）证明：设x1，x2∈(0，1)且x1＜

x

2

 则，
f(x1) -f(x2)=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1(4x2+1) -2x2(4x1+1)

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x2 -2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

…（3分）
∵0＜x1＜

x

2

＜1，∴2x2＞2x1 ，2x1+x2＞1
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上为减函数．…（4分）
（2）若x∈（-1，0），
∴-x∈（0，1），
∴f(-x)=

2-x

4-x+1

，
又∵f（x）为奇函数，
∴f(-x)=

2-x

4-x+1

=-f(x)，
∴f(x)=-

2-x

4-x+1

…（6分）
又∵f（-1）=f（1），且f（-1）=-f（1），
∴f（1）=f（-1）=0
∴f（x）=

2x 4x+1 ，x∈(0，1) 0， x=0或x=±1 - 2x 4x+1 ，x∈(-1，0)

…（8分）
（3）若x∈（0，1），
∴f(x)=

2x

4x+1

=

1

2x+ 1 2x

又∵2x+

1

2x

∈(2，

5

2

)，
∴f(x)∈(

2

5

，

1

2

)，…（10分）

若x∈（-1，0），
∴f(x)=-

2x

4x+1

=-

1

2x+ 1 2x

，
∴f(x)∈(-

1

2

，-

2

5

)，
∴λ的取值范围是{λ|λ=0，或-

1

2

＜λ＜-

2

5

，或

2

5

＜λ＜

1

2

}．…12 分

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用和证明，要求熟练掌握函数性质的综合应用．