Question

已知α、β是三次函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx(a，b∈R)的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则

b-2

a-1

的取值范围是______．

Answer 1

f′（x）=x²+ax+2b
∵α，β是f（x）的极值点，
所以α，β是x²+ax+2b=0的两个根
∴α+β=-a，αβ=2b
∵α∈（0，1），β∈（1，2），
∴1＜α+β＜3，0＜αβ＜2
∴1＜-a＜3，0＜2b＜2
∴

-3＜a＜-1 0＜b＜1

作出不等式组∴

-3＜a＜-1 0＜b＜1

的可行域

b-2

a-1

表示可行域中的点与（1，2）连线的斜率
有图知，当当点为（-3，1）和（-1，0）时分别为斜率的最小、最大值
所以此时两直线的斜率分别是

2-1

1--3

=

1

4

，

2-0

1-(-1)

=1
故答案为(

1

4

，1)