Question

【题目】某厂生产产品x件的总成本C（x）=1000+x2（万元），已知产品单价P（万元）与产品件数x满足：P2= ，生产100件这样的产品单价为50万元．
（1）设产量为x件时，总利润为L（x）（万元），求L（x）的解析式；
（2）产量x定为多少时总利润L（x）（万元）最大？并求最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由产品单价P（万元）与产品件数x满足： ，

生产100件这样的产品单价为50万元，得 ，

∴k=250000

即 ．

（x∈（0，+∞）且x∈N*）

（2）解：由 得 ．

令L'（x）=0即 ，

∴x=25

当x∈（0，25）时，L'（x）＞0，L（x）单调递增；

当x∈（25，+∞）时，L'（x）＜0，L（x）单调递减；

因此当x=25时，L（x）取得最大值，且最大值为L（25）=2500﹣1000﹣625=875（万元）

故产量x定为25件时，总利润L（x）（万元）最大，最大值为875万元

【解析】（1）根据题意可求出k=250000，进而得出总利润为L（x）为总卖价减去总成本；（2）根据利润表达式，求出导函数，利用导函数得出函数的极值，进而求出函数的最大值．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．