Question

已知曲线C₁:y=x²与C₂:y=－(x－2)²,直线l与C₁、C₂都相切，求直线l的方程.

Answer 1

y=0或y=4x－4

利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率.
设l与C₁相切于点P(x₁,x₁²),与C₂相切于Q(x₂,－(x₂－2)²)
对于C₁：y′=2x,则与C₁相切于点P的切线方程为
y－x₁²=2x₁(x－x₁),即y=2x₁x－x₁²                                                                           ①
对于C₂：y′=－2(x－2),与C₂相切于点Q的切线方程为y+(x₂－2)²=－2(x₂－2)(x－x₂),即y=－2(x₂－2)x+x₂²－4                                                     ②
∵两切线重合，∴2x₁=－2(x₂－2)且－x₁²=x₂²－4,解得x₁=0,x₂=2或x₁=2,x₂=0
∴直线l方程为y=0或y=4x－4