Question

【题目】数列{bn}的前n项和为Sn ， 且对任意正整数n，都有 ；
（1）试证明数列{bn}是等差数列，并求其通项公式；
（2）如果等比数列{an}共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{an}的每相邻两项ai与ai+1之间插入i个（﹣1）ibi（i∈N*）后，得到一个新数列{cn}，求数列{cn}中所有项的和；
（3）如果存在n∈N* ， 使不等式 成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：n=1时，b1=1；n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ =n．n=1时也成立．

∴bn=n为等差数列，首项与公差都为1

（2）解：通过题意，易得数列{an}的通项公式为an=2n，

当m=2k﹣1（k≥2，k∈N*）时，

数列{cn}共有（2k﹣1）+1+2+…+（2k﹣2）=k（2k﹣1）项，

其所有项的和为Sk（2k﹣1）=（2+22+…+22k﹣1）+[﹣1+22﹣32+42﹣…﹣（2k﹣3）2+（2k﹣2）2]

=2（22k﹣1﹣1）+[3+7+…+（4k﹣5）]

=22k﹣2+（2k﹣1）（k﹣1）

= m（m﹣1）+2m+1﹣2．

∴m=2017时，数列{cn}中所有项的和=22018+2033134

（3）不等式 ，

即不等式（n+1） ≤（n+1）λ≤ ，

化为：f（n）= ≤λ≤1+ =g（n）．

∵f（n）≥f（3）=5+ ，g（n）≤g（1）=6．而n=1，2，3时不等式不成立．

n≥4时，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．因此不存在n∈N*，

使不等式 成立

【解析】（1）n=1时，b1=1；n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=n，即可证明．（2）通过题意，易得数列{an}的通项公式为an=2n，
当m=2k﹣1（k≥2，k∈N*）时，数列{cn}共有（2k﹣1）+1+2+…+（2k﹣2）=k（2k﹣1）项，
其所有项的和为Sk（2k﹣1）=（2+22+…+22k﹣1）+[﹣1+22﹣32+42﹣…﹣（2k﹣3）2+（2k﹣2）2]= m（m﹣1）+2m+1﹣2．取m=2017时，可得数列{cn}中所有项的和．（3）不等式 ，即不等式（n+1） ≤（n+1）λ≤ ，化为：f（n）= ≤λ≤1+ =g（n）．通过验证：n=1，2，3时不等式不成立．n≥4时，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．即可得出结论．