Question

已知m，t∈R，函数f （x）=（x-t）³+m．
（I）当t=1时，
（i）若f （1）=1，求函数f （x）的单调区间；
（ii）若关于x的不等式f （x）≥x³-1在区间[1，2]上有解，求m的取值范围；
（Ⅱ）已知曲线y=f （x）在其图象上的两点A（x₁，f （x₁）），B（x₂，f （x₂）））（ x₁≠x₂）处的切线分别为l₁、l₂．若直线l₁与l₂平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（ i）因为f（1）=1，所以m=1，则f（x）=（x-1）³+1=x³-3x²+3x，而f'（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0恒成立，由此能求出函数f（x）的单调递增区间．
（ ii）不等式f（x）≥x³-1在区间[1，2]上有解，等价于m不小于3x²-3x在区间[1，2]上的最小值，由x∈[1，2]时，3x2-3x=3(x-

1

2

)2-

3

4

∈[0，6]，能求出m的取值范围．
（Ⅱ）因为f（x）=x³的对称中心为（0，0），而f（x）=（x-t）³+m可以由f（x）=x³经平移得到，所以f（x）=（x-t）³+m的对称中心为（t，m），故合情猜测，若直线l₁与l₂平行，则点A与点B关于点（t，m）对称对猜想证明如下：
因为

f(x)=(x-t)3+m=x3-3tx2+3t2x-t3+m

所以f'（x）=3x²-6tx+3t²=3（x-t）²，所以，l₁，l₂的斜率分别为k1=3(x1-t)2，k2=3(x2-t)2．由此能够证明直线l₁与l₂平行时，点A与点B关于点（t，m）对称．

解答：解：（Ⅰ）（ i）因为f（1）=1，所以m=1，（1分）
则f（x）=（x-1）³+1=x³-3x²+3x，
而f'（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0恒成立，
所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）． （4分）
（ ii）不等式f（x）≥x³-1在区间[1，2]上有解，
即不等式3x²-3x-m≤0在区间[1，2]上有解，
即不等式m≥3x²-3x在区间[1，2]上有解，
等价于m不小于3x²-3x在区间[1，2]上的最小值，（6分）
因为x∈[1，2]时，3x2-3x=3(x-

1

2

)2-

3

4

∈[0，6]，
所以m的取值范围是[0，+∞）． （9分）
（Ⅱ）因为f（x）=x³的对称中心为（0，0），
而f（x）=（x-t）³+m可以由f（x）=x³经平移得到，
所以f（x）=（x-t）³+m的对称中心为（t，m），
故猜测，若直线l₁与l₂平行，则点A与点B关于点（t，m）对称．（10分）
对猜想证明如下：
因为

f(x)=(x-t)3+m=x3-3tx2+3t2x-t3+m

所以f'（x）=3x²-6tx+3t²=3（x-t）²
所以，l₁，l₂的斜率分别为k1=3(x1-t)2，k2=3(x2-t)2．
又直线l₁与l₂平行，所以k₁=k₂，即(x1-t)2=(x2-t)2，
因为x₁≠x₂，
所以，x₁-t=-（x₂-t），（12分）
从而(x1-t)3=-(x2-t)3，
所以f(x1)+f(x2)=(x1-t)3+m+(x2-t)3+m=-(x2-t)3+m+(x2-t)3+m=2m．
又由上x₁+x₂=2t，
所以点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂）关于点（（t，m）对称．
故直线l₁与l₂平行时，点A与点B关于点（t，m）对称． （14分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．