Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，∠B=∠C=90°，AB=3CD，∠PBC=30°，点M是PB上的动点，且（λ∈[0，1]）．
（1）当时，证明CM∥平面PAD；
（2）当平面MCD⊥平面PAB时，求λ的值．

Answer 1

解：（1）过M作MN∥AB于交PA于N，连接DN
∵△PAB中，PM：PB=1：3
∴MN：AB=1：3，得MN=AB
∵MN∥AB，AB∥CD，∴MN∥CD
∵MN=AB=CD，∴四边形CDNM是平行四边形，可得CM∥DN
∵CM?平面PAD，DN⊆平面PAD，
∴CM∥平面PAD；
（2）∵PC⊥底面ABCD，AB⊆平面ABCD，∴AB⊥PC
又∵AB⊥BC，PC、BC是平面PBC内的相交直线
∴AB⊥平面PBC
∵CM⊆平面PBC，∴CM⊥AB，
因此，当CM⊥PB时，可得CM⊥平面PAB，再结合CM⊆平面MCD，可得平面MCD⊥平面PAB．
∵Rt△PCB中，∠PBC=30°，∴PB=2PC
而Rt△PMC中，∠PCM=30°，所以PM=PC=PB，得=
∴当平面MCD⊥平面PAB时，λ的值为
分析：（1）利用平行线分线段成比例定理，结合平行线的传递性，可证出MN与CD平行且相等，从而得到四边形CDNM是平行四边形，可得CM∥DN，最后根据线面平行的判定定理，证出CM∥平面PAD；
（2）由线面垂直的判定与性质，可证出CM⊥平面PAB，从而得到当CM⊥PB时，有平面MCD⊥平面PAB．再在Rt△PCB和Rt△PMC中，利用含有30°角的直角三角形的性质，算出PM=PB，得到当平面MCD⊥平面PAB时，λ的值为．
点评：本题给出底面为直角梯形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥，求证线面平面并且讨论了面面垂直，着重考查了空间线面平面的判定和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于基础题．