Question

（2013•三门峡模拟）给出下列四个命题：
①函数y=sin(2x-

π

6

)的图象沿x轴向右平移

π

6

个单位长度所得图象的函数表达式是y=cos2x．
②函数y=lg（ax²-2ax+1）的定义域是R，则实数a的取值范围为（0，1）．
③单位向量

a

、

b

的夹角为60°，则向量2

a

-

b

的模为

3

．
④用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）时，从k到k+1的证明，左边需增添的因式是2（2k+1）．
其中正确的命题序号是

③④

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析：根据函数图象平移变换法则，求出平移后函数的解析式，并利用诱导公式，进行化简，可判断①；
举出反例a=0，进而判断②；
利用平方法，求出向量2

a

-

b

的模，进而可判断③；
根据数学归纳法的证明方法和步骤，可判断④．

解答：解：函数y=sin(2x-

π

6

)的图象沿x轴向右平移

π

6

个单位长度所得图象的函数y=sin[2(x-

π

6

)-

π

6

]=sin(2x-

π

2

)=-cos2x，故①错．
当a=0时，函数f（x）的定义域也为R，故②错．
（2

a

-

b

）²=4

a

²-4

a

•

b

+

b

²=4-4×

1

2

+1=3，故2

a

-

b

的模为

3

，故③正确．
当n=k时，左边为（k+1）（k+2）…（k+k），
当n=k+1时，左边为（k+1+1）（k+1+2）…（k+1+k-1）（k+1+k）（k+1+k+1）
=（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）[2（k+1）]
故需增添的因式为2（2k+1），故④正确．
故正确的命题序号为③④．

点评：本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，对数函数的定义域，向量的模，数学归纳法，熟练掌握上述基本知识点是解答的关键．