【题目】设函数.
(1)若函数在区间
(
为自然对数的底数)上有唯一的零点,求实数
的取值范围;
(2)若在(
为自然对数的底数)上存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
.
【解析】
(1)求得,对
的范围分类,即可判断函数
的单调性,结合
即可判断函数
在区间
上是否有唯一的零点,问题得解。
(2)将问题转化为:函数在
上的最小值小于零.求得
,对
的范围分类即可判断函数的单调性,从而求得
的最小值,问题得解。
(1),其中
.
①当时,
恒成立,
单调递增,
又∵,函数
在区间
上有唯一的零点,符合题意.
②当时,
恒成立,
单调递减,
又∵,函数
在区间
上有唯一的零点,符合题意.
③当时,
时,
,
单调递减,
又∵,∴
,
∴函数在区间
有唯一的零点,
当时,
,
单调递增,
当时符合题意,即
,
∴时,函数
在区间
上有唯一的零点;
∴的取值范围是
.
(2)在上存在一点
,使得
成立,等价于
在
上有解,即函数
在
上的最小值小于零.
,
①当时,即
时,
在
上单调递减,所以
的最小值为
,由
可得
,∵
,∴
;
②当时,即
时,
在
上单调递增,所以
的最小值为
,由
可得
;
③当时,即
时,
可得的最小值为
,∵
,∴
,
,所以
不成立.
综上所述:可得所求的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆与抛物线
:
的准线交于
,
两点,且
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线:
与曲线
交于
,
两点,且曲线
上存在两点
,
关于直线
对称,求实数
的取值范围及
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱柱中,
是边长为2的等边三角形,
,
,
.
(1)证明:平面平面
;
(2),
分别是
,
的中点,
是线段
上的动点,若二面角
的平面角的大小为
,试确定点
的位置.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线,一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到,任画一条线段,然后把它均分成三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并把中间一段去掉,这样,原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线,称为“一次构造”;用同样的方法把每条小线段重复上述步骤,得到16条更小的线段构成的折线,称为“二次构造”,…,如此进行“次构造”,就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍,则至少需要通过构造的次数是( ).(取
,
)
A.16B.17C.24D.25
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【题目】如图,四棱锥中,侧面
是边长为2的等边三角形且垂直于底面
,
,
,
是
的中点.
(1)求证:直线平面
;
(2)点在棱
上,且二面角
的余弦值为
,求直线
与底面
所成角的正弦值.
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【题目】已知两点分别在
轴和
轴上运动,且
,若动点
满足
.
(1)求出动点的轨迹
的标准方程;
(2)设动直线与曲线
有且仅有一个公共点,与圆
相交于两点
(两点均不在坐标轴上),求直线
的斜率之积.
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