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【题目】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为 ,短轴长为4 . (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点,且直线AB的斜率为
①求四边形APBQ面积的最大值;
②设直线PA的斜率为k1 , 直线PB的斜率为k2 , 判断k1+k2的值是否为常数,并说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)设椭圆C的方程为 . 由已知b=2 ,离心率e= ,a2=b2+c2 , 得a=4,
所以,椭圆C的方程为
(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得点P、Q的坐标为P(2,3),Q(2,﹣3),则|PQ|=6,
设A(x1 , y1),B(x2 , y2),直线AB的方程为y= x+t,代入
得:x2+tx+t2﹣12=0.
由△>0,解得﹣4<t<4,由根与系数的关系得
四边形APBQ的面积
故当t=0时,
②由题意知,直线PA的斜率 ,直线PB的斜率

=
=
由①知
可得
所以k1+k2的值为常数0
【解析】(Ⅰ)设椭圆C的方程为 ,由短轴长可得b值,根据离心率为 及a2=b2+c2 , 得a值; (Ⅱ)①设A(x1 , y1),B(x2 , y2),直线AB的方程为y= x+t,代入 得x的二次方程,四边形APBQ的面积S= = ,而|PQ|易求,代入韦达定理即可求得S的表达式,由表达式即可求得S的最大值;②直线PA的斜率 ,直线PB的斜率 ,代入韦达定理即可求得k1+k2的值;
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点,需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:才能正确解答此题.

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