Question

如图6所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p＞0)上.

图6
（1）求抛物线E的方程；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.

Answer 1

（1）x²＝4y（2）见解析

解：（1）依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°.
设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cos30°＝12.
因为点B(4，12)在x²＝2py上，所以(4)²＝2p×12，解得p＝2.
故抛物线E的方程为x²＝4y.
（2）由（1）知y＝x²，y′＝x.
设P(x₀，y₀)，则x₀≠0，且l的方程为y－y₀＝x₀(x－x₀)，即y＝x₀x－.
由得
所以Q.
假设以PQ为直径的圆恒过定点M，由图形的对称性知M必在y轴上，设M(0，y₁)，令·＝0对满足y₀＝ (x₀≠0)的x₀，y₀恒成立.
由于＝(x₀，y₀－y₁)，＝.
由·＝0，得－y₀－y₀y₁＋y₁＋＝0.
即(＋y₁－2)＋(1－y₁)y₀＝0.(*)
由于(*)式对满足y₀＝ (x₀≠0)的y₀恒成立，所以
解得y₁＝1.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).