Question

探究函数f(x)=x2+

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x2

(x＞0)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下，请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．

x	…	0.5	1	1.5	1.7	2	2.1	2.3	3	4	7	…
y	…	64.25	17	9.36	8.43	8	8.04	8.31	10.7	17	49.33	…

已知：函数f(x)=x2+

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x2

(x＞0)在区间（0，2）上递减，问：
（1）函数f(x)=x2+

16

x2

(x＞0)在区间

（2，+∞）

上递增．当x=

2

时，y_最小=

4

．
（2）证明：函数f(x)=x2+

16

x2

(x＞0)在区间（0，2）递减；
（3）思考：函数f(x)=x2+

16

x2

(x＜0)有最大值或最小值吗？如有，是多少？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

Answer 1

分析：（1）由图表可知，函数的单调增区间为（2，+∞）；   当x=2时y_最小=4，由此得到答案．
（2）设 0＜x₁＜x₂ ＜2，化简f（x₁）-f（x₂） 为

(x12-x22)(x12x22-16)

(x1x2)2

＞0，从而f（x₁）-f（x₂）＞0，
可得函数在（0，2）上为减函数．
（3）根据函数解析式可得，当x=-2时，函数y有最小值等于 8．

解答：解：（1）由图表可知，函数的单调增区间为（2，+∞）；   当x=2时y_最小=4．
故答案为（2，+∞），2，4． …（4分）
（2）证明：设 0＜x₁＜x₂ ＜2，
∵f（x₁）-f（x₂）=x12+

16

x12

-x22+

16

x22

=(x12-x22)(1-

16

(x1x2)2

)=

(x12-x22)(x12x22-16)

(x1x2)2

．
又∵0＜x₁＜x₂＜2，∴x12-x22＜0，又∵x₁，x₂∈（0，2），∴0＜(x1x2)2＜16，
∴(x1x2)2-16＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0∴函数在（0，2）上为减函数．…（9分）
（3）思考：y=x2+

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x2

，x∈(-∞，0)，当x=-2时，函数y有最小值等于 8．…（12分）

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的最值及其几何意义，属于中档题．