Question

15．抛物线y²=4x，O为原点，弦PQ过A（3，2）点且以A为中点．
（1）求PQ的方程；
（2）过P平行x轴的直线与准线交于M，证明：Q、O、M三点共线．

Answer 1

分析 （1）利用点差法求出PQ的斜率，即可求PQ的方程；
（2）证明k_OM=k_OQ，故Q、O、M三点共线．

解答 解：（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
∴y₁+y₂=4，y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，则（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂），
k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=1，PQ的方程为y-2=x-3即x-y-1=0．…（6分）
（2）将x=y+1代入y²=4x中整理得y²-4y-4=0，y₁y₂=-4．而M（-1，y₁），
∴k_OM=-y₁=$\frac{4}{{y}_{2}}$，k_OQ=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，
∵y₂²=4x₂，∴$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{2}}$，即k_OM=k_OQ，故Q、O、M三点共线．…（12分）

点评 本题考查直线方程，考查三点共线的证明，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．