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已知椭圆=1(a>b>0),直线l与椭圆交于AB两点,M是线段AB的中点,连接OM并延长交椭圆于点C.直线AB与直线OM的斜率分别为km,且km=-

(1)求b的值;

(2)若直线AB经过椭圆的右焦点F,问:对于任意给定的不等于零的实数k,是否存在a∈[2,+∞),使得四边形OACB是平行四边形,请证明你的结论.

答案:
解析:

  设直线AB的方程为ykxn,代入椭圆方程得

  ,设

  则,∴

  ∴,又,∴

  (Ⅱ)设C(xCyC),直线AB的方程为yk(xc)(k≠0),代入椭圆方程

  得,若OACB是平行四边形,则

  ∴

  ∵C在椭圆上∴ ∴

  ∴,∴ ∴

  ∵a∈[2,+∞],∴,∴

  ∴当时,存在a∈[2,+∞],使得四边形OACB是平行四边形;

  当时,不存在a∈[2,+∞],使得四边形OACB是平行四边形.


练习册系列答案
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[  ]

A.
B.
C.
D.

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(1)求椭圆和双曲线的标准方程;

(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,证明:k1·k2=1;

(3)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.

 

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如图,已知椭圆=1(ab>0)过点(1,),离心率为,左、右焦点分别为F1F2.点P为直线lxy=2上且不在x轴上的任意一点,直线PF1PF2与椭圆的交点分别为ABCDO为坐标原点.

(1)求椭圆的标准方程.

(2)设直线PF1PF2的斜率分别为k1k2.

(ⅰ)证明:=2.

(ⅱ)问直线l上是否存在点P,使得直线OAOBOCOD的斜率kOAkOBkOCkOD满足kOAkOBkOCkOD=0?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.

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如图,已知椭圆=1(ab>0)的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1F2为顶点的三角形的周长为4(+1),一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1PF2与椭圆的交点分别为ABCD.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程;

(2)设直线PF1PF2的斜率分别为k1k2,证明:k1·k2=1;

(3)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.

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