Question

设函数f(x)=x+

alnx

x

，其中a为常数．
（1）证明：对任意a∈R，y=f（x）的图象恒过定点；
（2）当a=-1时，判断函数y=f（x）是否存在极值？若存在，证明你的结论并求出所有极值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）把f（x）代入到F（x）中化简得到F（x）的解析式求出F（x）的最小值即可；
（2）把a=-1代入得f（x）的解析式，求出f′（x）=0时x=1，因为x大于0，所以在（0，1）和（1，+∞）上讨论函数的增减性得到函数的极小值为f（1）．

解答：解：（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
所以y=f（x）的图象恒过定点（1，1）；
（2）当a=-1时，f(x)=x-

lnx

x

，
x＞0f′(x)=1-

1-lnx

x2

=

x2+lnx-1

x2

经观察得f′（x）=0有根x=1
令g（x）=x²+lnx-1，g/(x)=2x+

1

x

当x＞0时，g′（x）＞0，即y=g（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
所以f′（x）=0有唯一根x=1．
当x∈（0，1）时，f′(x)=

g(x)

x2

＞

g(1)

x2

=0，f（x）在（0，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′(x)=

g(x)

x2

＞

g(1)

x2

=0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
所以x=1是f（x）的唯一极小值点．极小值是f(1)=1-

ln1

1

=1．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力．