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如图,在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1 = 4CP.

(1)求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)

(2)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1HAP

(3)求点P到平面ABD1的距离.

(1)解:∵AB⊥平面BCC1B1

AP与平面BCC1B1所成的角为∠APB.

如图建立空间直角坐标系,坐标原点为D.

CC1 = 4CPCC1 = 4,

CP = 1,A (4, 0, 0),P (0, 4, 1),B (4, 4, 0).

.

,

∴cos∠.

∴直线AP与平面BCC1B1所成的角为arccos.

(2)证明:连结D1O,由(1)有D1 (0, 0, 4),O (2, 2, 4),

.     ∴.

∵平面D1AP的斜线D1O在这个平面内的射影是D1H,∴D1HAP.

(3)解:连结BC1,在平面BCC1B1中,过点PPQBC1于点Q.

AB⊥平面BCC1B1平面BCC1B1,∴PQAB.

PQ⊥平面ABC1D1. ∴PQ就是点P到平面ABD1的距离.

在Rt△C1PQ中,∠C1QP = 90°,∠PC1Q = 45°,PC1 = 3,

,即点P到平面ABD­1的距离为.

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2
+2
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②④⑤
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⑤在原正方体中任取两个顶点,这两点间的距离在区间(
10
2
3
)
内的情况有4种.

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是直线上的动点,则当的距离为最大时,正四面体在平面上的射影面

积为(    )

    A.          B.   C.      D.

 

 

 

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同步练习册答案
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