如图,在棱长为4的正方体ABCD―A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1 = 4CP.
(1)求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)
(2)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1H⊥AP;
(3)求点P到平面ABD1的距离.
(1)解:∵AB⊥平面BCC1B1,
∴AP与平面BCC1B1所成的角为∠APB.
如图建立空间直角坐标系,坐标原点为D.
∵CC1 = 4CP,CC1 = 4,
∴CP = 1,A (4, 0, 0),P (0, 4, 1),B (4, 4, 0).
∴.
∵,
∴cos∠.
∴直线AP与平面BCC1B1所成的角为arccos.
(2)证明:连结D1O,由(1)有D1 (0, 0, 4),O (2, 2, 4),
∴. ∴.
∵平面D1AP的斜线D1O在这个平面内的射影是D1H,∴D1H⊥AP.
(3)解:连结BC1,在平面BCC1B1中,过点P作PQ⊥BC1于点Q.
∵AB⊥平面BCC1B1,平面BCC1B1,∴PQ⊥AB.
∴PQ⊥平面ABC1D1. ∴PQ就是点P到平面ABD1的距离.
在Rt△C1PQ中,∠C1QP = 90°,∠PC1Q = 45°,PC1 = 3,
∴,即点P到平面ABD1的距离为.
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nπ | 2 |
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| ||
2 |
3 |
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省温州市高三第一次适应性测试理科数学 题型:选择题
如图,直线平面,垂足为,正四面体的棱长为4,在平面内,
是直线上的动点,则当到的距离为最大时,正四面体在平面上的射影面
积为( )
A. B. C. D.
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