如图,已知四棱锥中,底面
为菱形,
平面
,
,
分别是
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)取,若
为
上的动点,
与平面
所成最大角的正切值为
,求二面角
的余弦值。
(1)详见解析;(2)
解析试题分析:(1)用线面垂直证,用等腰三角形中线即为高线证
即
,根据线面垂直得判定定理即可得证。(2)由(1)知
平面
,则
为
与平面
所成的角。因为
为定值,所以
最短即
最短时角的正弦值最大。故此时
。故此可推导出
的值,过
作
于
,则
平面
,过
作
于
,连接
,则
为二面角
的平面角。也可采用空间向量法。
试题解析:解:方法一:(1)证明:由四边形为菱形,
,可得
为正三角形,因为
为
的中点,
所以 1分
又,因此
2分
因为平面
,
平面
,
所以 3分
而平面
,
平面
,
所以平面
. 5分
(2)为
上任意一点,连接
由(1)知
平面
,则
为
与平面
所成的角 6分
在中,
,
所以当最短时,即当
时,
最大 . 7分
此时, 因此
又
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=1BC=2,又PB⊥平面ABCD,且PB=1,点E在棱PD上,且DE=2PE.
(1)求证:BE⊥平面PCD;
(2)求二面角A一PD-B的大小.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在长方体AC1中,AB=BC=2,,点E、F分别是面A1C1、面BC1的中心.
(1)求证:BE//平面D1AC;
(2)求证:AF⊥BE;
(3)求异面直线AF与BD所成角的余弦值。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.
(1)证明B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;
(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,ABCD是块矩形硬纸板,其中AB=2AD,AD=,E为DC的中点,将它沿AE折成直二面角D-AE-B.
(1)求证:AD⊥平面BDE;
(2)求二面角B-AD-E的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点.
(1)证明:直线EE1∥平面FCC1;
(2)求二面角B-FC1-C的余弦值.
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