Question

如图，S（1，1）是抛物线为y²=2px（p＞0）上的一点，弦SC，SD分别交x轴于A，B两点，且SA=SB．
（I）求证：直线CD的斜率为定值；
（Ⅱ）延长DC交x轴于点E，若|EC|=

1

3

|DE|，求cos2∠CSD的值．

Answer 1

分析：（1）将点（1，1）代入y²=2px，得2p=1，抛物线方程为y²=x，设直线SA的方程为y-1=k（x-1），C（x₁，y₁），与抛物线方程y²=x联立得：ky²-y+1-k=0．再由根与系数的关系能够导出直线CD的斜率为定值．
（2）设E（t，0），由|EC|=

1

3

|DE|，得

EC

=

1

3

ED

，知 (

(1-k)2

k2

-t，

1

k

-1)=

1

3

(

(1+k)2

k2

-t，

1

k

-1)，解得k=2，所以直线SA的方程为y=2x-1，由此能求出cos∠CSD=cos∠ASB的值，利用二倍角公式即可求得结果．

解答：解：（1）将点（1，1）代入y²=2px，得2p=1
∴抛物线方程为y²=x
设直线SA的方程为y-1=k（x-1），C（x₁，y₁）
与抛物线方程y²=x联立得：ky²-y+1-k=0
∴y₁+1=

1

k

∴y₁=

1

k

-1
C(

(1-k)2

k2

，

1

k

-1)
由题意有SA=SB，∴直线SB的斜率为-k
∴D(

(1+k)2

k2

，-

1

k

-1)
∴KCD=

1 k -1+ 1 k +1

(1-k)2 k2 - (1+k)2 k2

=-

1

2

；
（2）设E（t，0）
∵|EC|=

1

3

|DE|，
∴

EC

=

1

3

ED

∴(

(1-k)2

k2

-t，

1

k

-1)=

1

3

(

(1+k)2

k2

-t，

1

k

-1)

1

k

-1=

1

3

(-

1

k

-1)
∴k=2
∴直线SA的方程为y=2x-1
∴A（

1

2

，0）
同理B（

3

2

，0）
∴cos∠CSD=cos∠ASB=

SA2+SB2-AB2

2SB•SA

=

3

5

．
∴cos2∠CSD=2cos²∠ASB-1=-

7

25

．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的合理运用，考查分析问题和解决问题的能力和运算能力，属中档题．