【题目】已知递增数列的前项和为,且满足,.
(1)求证:数列为等差数列;
(2)试求所有的正整数,使得为整数;
(3)证明:.
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【解析】
(1)根据,得出,利用,即可得出,或,再结合题意为递增数列,确定得,结合等差数列定义法,即可证出数列为等差数列;
(2)由(1)知,数列为等差数列,首项为,公差,则,化简得,结合和,则且为奇数,即可求出正整数;
(3)由,利用放缩法和裂项相消法求和得出,进而得出,要证,则需证,转化为证,
当时,上式显然成立,时,原不等式左边为,原不等式右边为,则原不等式成立,从而即可证明.
解:(1)由题可知,,,
则①,
得②,
由①-②得:,
即:,
即:,
所以或,
即:或,
若,则有,而,所以,
即,这与数列递增矛盾,所以应舍去,
所以,故数列为等差数列.
(2)由(1)知,数列为等差数列,首项为,公差,
则,
故:
,
即,
因为,所以,
由于,则且为奇数,
所以,故.
(3)由(2)可知,,则,
由于,
即:
所以
即:,
要证,则需证,
即证:,
化为:,
即为:,
当时,上式显然成立,即成立,
又时,原不等式左边,原不等式右边,则原不等式成立,
所以综上可得:.
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【题目】某中学团委组织了“纪念抗日战争胜利73周年”的知识竞赛,从参加竞赛的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段,,…,后,画出如图所示的部分频率分布直方图.观察图形给出的信息,回答下列问题:
(1)求第四组的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)估计这次竞赛的及格率(60分及以上为及格)和平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
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【题目】某市举行了一次初一学生调研考试,为了解本次考试学生的数学学科成绩情况,从中抽取部分学生的分数(满分为100分,得分取正整数,抽取学生的分数均在之内)作为样本(样本容量)进行统计,按照的分组方法作出频率分布直方图,并作出了样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在的数据].
(Ⅰ)求频率分布直方图中的的值,并估计学生分数的中位数;
(Ⅱ)字在选取的样本中,从成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生,求所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率.
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【题目】我们学校是一所有着悠久传统文化的学校,我们学校全名叫重庆外国语学校(Chongqing Foreign Language School),又名四川外国语大学附属外国语学校,简称“重外”,1981年,被定为四川省首批办好的重点中学;1997年,被列为重庆市教委首批办好的直属重点中学之一;2001年被国家教育部指定为20%高三学生享有保送资格的全国十三所学校之一,今年我校保送取得了非常辉煌的成绩,目前为止,包括清华大学,北京大学在内目前共保送122名同学,其中北京大学,南开大学,北京外国语大学保送的人数成公差为正数的等差数列,三个学校保送人数之和为24人,三个学校保送学生人数之积为312,则北京外国语大学保送的人数为(以上数据均来自于学校官网)( )
A.10B.11C.13D.14
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【题目】在平面直角坐标系中, 是坐标原点,设函数的图象为直线,且与轴、轴分别交于、两点,给出下列四个命题:
①存在正实数,使的面积为的直线仅有一条;
②存在正实数,使的面积为的直线仅有二条;
③存在正实数,使的面积为的直线仅有三条;
④存在正实数,使的面积为的直线仅有四条.
其中,所有真命题的序号是( ).
A. ①②③ B. ③④ C. ②④ D. ②③④
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【题目】如图,是以为直径的圆上一段圆弧,是以为直径的圆上一段圆弧,是以为直径的圆上一段圆弧,三段弧构成曲线.则下面说法正确的是( )
A.曲线与轴围成的面积等于
B.与的公切线方程为:
C.所在圆与所在圆的交点弦方程为:
D.用直线截所在的圆,所得的弦长为
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【题目】以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是
B.从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务,则选中一男一女同学的概率为
C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是
D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是
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【题目】下列结论:
①若,则“”成立的一个充分不必要条件是“,且”;
②存在,使得;
③若函数的导函数是奇函数,则实数;
④平面上的动点到定点的距离比到轴的距离大1的点的轨迹方程为.
其中正确结论的序号为_________.(填写所有正确的结论序号)
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