Question

【题目】某市举行“中学生诗词大赛”海选，规定：成绩大于或等于90分的具有参赛资格．某校有800名学生参加了海选，所有学生的成绩均在区间[30，150]内，其频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求获得参赛资格的人数；
（Ⅱ）若大赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛．已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为 ，求甲在初赛中答题个数X的分布列及数学期望E（X）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意知，成绩在[90，110）之间的频率为

1﹣20×（0.0025+0.005+0.0075×2+0.0125）=0.3，

0.3+（0.0125+0.0050）×20=0.65，

故所求获得参赛资格的人数为800×0.65=520；

（Ⅱ）设甲答对每一个问题的概率为p，则（1﹣p）2= ，

∴p= ，

甲在初赛中答题个数X的所有取值为3，4，5；

则P（X=3）= + = ；

P（X=4）= + = ；

P（X=5）= = ；

故X的分布列为：

X	3	4	5
P

数学期望为E（X）=3× +4× +5× = ．

【解析】（Ⅰ）根据图表求出成绩在[90，110）之间的频率，频率乘以800就得出获得参赛资格的人数。（Ⅱ）由题意利用伯努利概型求出甲在初赛中答题个数的概率，列表即得X的分布列，再根据方差的定义求出即可。
【考点精析】本题主要考查了频率分布直方图和离散型随机变量及其分布列的相关知识点，需要掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息；在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能正确解答此题．