Question

5．已知等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₂+a₆=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=a_n+n²+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的性质即可求出，
（2）利用递推公式求数列b_n的通项公式，应用乘“公比”错位相减求和即可

解答 解：（1）设公差为d，
∵a₁=1，且a₂+a₆=14
∴2a₁+6d=14
解得d=2，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1；
（2）∵$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=a_n+n²+1=n²+2n，①
当n=1时，$\frac{{b}_{1}}{2}$=3，即b₁=6，
当n≥2时，$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=（n-1）²+2（n-1），②
由①-②，得$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=2n+1，
∴b_n=（2n+1）2ⁿ，
∴T_n=3×2¹+5×2²+7×2³+…+（2n+1）2ⁿ，③
2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁵+…+（2n-1）2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹，④，
∴③-④得，
-T_n=6+2（2²+2³+2⁵+…+2ⁿ）-（2n+1）2ⁿ⁺¹=6+2×$\frac{{2}^{1}-{2}^{n+1}}{1-2}$-（2n+1）2ⁿ⁺¹=（-2n+1）2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题主要考查了利用递推公式由“和”求“项”，体现了转化思想，由等比数列与等差数列的积构成的数列的求和，用乘“公比”错位相减，其中的公比是指成等比数列的公比．