Question

在△ABC中，角A，B，c的对边分别是a、b、c，已知向量

m

=（cosA，cos B），

n

=（a，2c-b），且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinC不为0，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（II）由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，整理后利用基本不等式求出bc的最大值，再由bc的最大值与sinA的值即可得到三角形ABC面积的最大值．

解答：解：（I）∵向量

m

=（cosA，cos B），

n

=（a，2c-b），且

m

∥

n

，
∴acosB-（2c-b）cosA=0，
利用正弦定理化简得：sinAcosB-（2sinC-sinB）cosA=0，
∴sinAcosB+cosAsinB-2sinCcosA=0，即sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，
∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

，
又0＜A＜π，则A=

π

3

；
（II）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得：16=b²+c²-bc≥bc，即bc≤16，
当且仅当b=c=4时，上式取等号，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤4

3

，
则△ABC面积的最大值为4

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．