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12.如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC=2,EA⊥EB,点F满足$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FE}$.
(1)求证:直线EC∥平面BDF;
(2)求二面角D-BF-A的余弦值.

分析 (1)连结AC,交BD于G,推导出EC∥FG,由此能证明直线EC∥平面BDF.
(2)设AB的中点为O以OD,OA,OE分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角D-BF-A的余弦值.

解答 证明:(1)连结AC,交BD于G,
∵AB∥CD,∴$\frac{CG}{GA}=\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}=\frac{EF}{FA}$,
∴EC∥FG,又EC?平面BDF,FG?平面BDF,
∴直线EC∥平面BDF.
解:(2)设AB的中点为O,∵△ABE是等腰三角形,
∴EO⊥AB,又平面EAB⊥平面ABCD,
∴EO⊥平面ABCD,连结OD,
则OB∥DC,且OB=DC,
∴OD∥BC,∴OD⊥AB,
如图,以OD,OA,OE分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,1,0),B(0,-1,0),C(1,-1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),
平面BFA的法向量$\overrightarrow{OD}$=(1,0,0),
设平面BFD的法向量是$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GF}=-x+y+z=0}\end{array}\right.$,
令x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-1,2),
cos<$\overrightarrow{n},\overrightarrow{OD}$>=$\frac{1}{1×\sqrt{1+1+4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$,
∴二面角D-BF-A的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$.

点评 本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

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