Question

由坐标原点O向函数y=x³ -3x²的图象W引切线l₁,切点P₁(x₁,y₁) (P₁,O不重合），再由点P₁引W的切线l₂，切点为P₂(x₂,y₂) (P₁, P₂不重合），…，如此继续下去得到点列{P_n(x_n,y_n)}.

（1）求x₁的值；

（2）求x_n与x_n+1满足的关系式；

（3）求的值。

Answer 1

解：（1）∵y=x³  -3x²，∴y^′=3x²-6x,

∵过点P₁(x₁,y₁) 的切线l₁的方程为y-( )= ()(x-x₁), 又l₁过点O(0,0),

∴-()=-x₁(),∴,∴x₁=或x₁=0.

∵P₁与O不重合, ∴x₁=.

(2) ∵过点P_n+1(x_n+1,y_n+1) 的切线l_n+1的方程为=(x-x_n+1), 又l_n+1过点P_n(x_n,y_n), ∴=(x_n-x_n+1), 整理得(x_n-x_n+1)² (x_n+2x_n+1)-3(x_n-x_n+1)²=0,

由已知得x_n≠x_n+1, ∴x_n+2x_n+1=3.

(3) ∵x_n+1=∴x_n+1-1=,∴{x_n-1}是以x₁-1=为首项,- 为公比的等比数列,

∴x_n-1=(-)^n-1, ∴x_n=1-(-)ⁿ  ∴