Question

【题目】如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，AB＝，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA.

(1)求证：EF∥平面PAD；

(2)求证：平面PAC⊥平面PDE.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）取PD中点G，根据平几知识可得AEFG为平行四边形，即得EF∥AG，再根据线面平行判定定理得结论（2）由矩形性质得DE⊥AC.又DE⊥PA.因此由线面垂直判定定理得DE⊥平面PAC.再根据面面垂直判定定理得结论

试题解析：证明　(1)如图，取PD中点G，连接AG，FG，

因为F，G分别为PC，PD的中点，所以FG∥CD，且FG＝CD.

又因为E为AB中点，所以AE∥CD，且AE＝CD.

所以AE∥FG，AE＝FG.

所以四边形AEFG为平行四边形．

所以EF∥AG，又EF平面PAD，

AG平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

(2)设AC∩DE＝H，由△AEH∽△CDH及E为AB中点，得＝＝，

又因为AB＝，BC＝1，

所以AC＝，AH＝AC＝.

所以＝＝，又∠BAC为公共角，所以△HAE∽△BAC.

所以∠AHE＝∠ABC＝90°，

即DE⊥AC.

又DE⊥PA，PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以DE⊥平面PAC.

又DE平面PDE，

所以平面PAC⊥平面PDE.