Question

下列说法：
①函数y=

x-1

x+1

图象的对称中心是（1，1）；
②“x＞2是x²-3x+2＞0”的充分不必要条件；
③对任意两实数m，n，定义定点“*”如下：m*n=

m  若m≤n n  若m＞n

，则函数f（x）=log

1

2

(3x-2)*log2x的值域为（-∞，0]；
④若函数f（x）=

(3a-1)x+4a(x＜1) logax      (x≥1)

对任意的x₁≠x₂都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，则实数a的取值范围是（-

1

7

，1]，
其中正确命题的序号为

②③

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是判断命题的真假，综合考查了函数的对称性，单调性，和值域问题，对每一个命题判断时，正确理解题意，结合函数性质，就可以得到正确结论．

解答：解：y=

x-1

x+1

=

x+1-2

x+1

=1-

2

x+1

，∵y=

1

x

的对称中心为（0，0），∴y=1-

2

x+1

的对称中心为（-1，1），故①不正确．
x²-3x+2=(x-

3

2

)2-

1

4

，当x＞2时，x-

3

2

＞

1

2

，(x-

3

2

)2＞

1

4

，∴x²-3x+2=(x-

3

2

)2-

1

4

＞0，∴x＞2 是x²-3x+2＞0的充分条件，由x²-3x+2＞0得x＜1或x＞2，故由x²-3x+2＞0不一定推得x＞2，∴是不必要的条件，故②正确．
f（x）=lo

g	(3x-2) 1 2

*lo

g

x 2

=lo

g

1 3x-2 2

*lo

g

x 2

定义域为{x|x＞

2

3

}，由m*n=

m  若m≤n n  若m＞n

知f（x）=

lo g x 2 若 2 3 ＜x≤1 lo g 1 3x-2 2 若  x＞1

，解得f（x）∈（-∞，0]，故③正确．
对任意的x₁≠x₂都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0知f（x）为定义域上的减函数，要使f（x）=

(3a-1)x+4a(x＜1) logax      (x≥1)

在定义域内为减函数，则

3a-1＜0 (3a-1)×1+4a≥0 0＜a＜1

，解得

1

7

≤a＜

1

3

，故④不正确．
故答案为②③．

点评：分式函数的对称中心一般可通过反比例的函数的对称中心平移得到；命题④分段函数在定义域内是减函数要注意保证x＜1时的最小值要大于  x≥1时得最大值．