Question

8．已知x，y均为正实数，则$\frac{x}{2x+3y}$+$\frac{3y}{x+6y}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{8}{9}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 换元，再利用基本不等式，即可求出$\frac{x}{2x+3y}$+$\frac{3y}{x+6y}$的最大值．

解答 解：设2x+3y=m，x+6y=n，则x=$\frac{2m-n}{3}$，y=$\frac{2n-m}{9}$，（m＞0，n＞0）
∴$\frac{x}{2x+3y}$+$\frac{3y}{x+6y}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{n}{3m}$+$\frac{2}{3}$-$\frac{m}{3n}$≤$\frac{4}{3}$-$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$，
当且仅当m=n时取等号，即$\frac{x}{2x+3y}$+$\frac{3y}{x+6y}$的最大值为$\frac{2}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查$\frac{x}{2x+3y}$+$\frac{3y}{x+6y}$的最大值，考查换元法、基本不等式的运用，正确换元是关键．