Question

若一个圆锥和一个半球有公共的底面，且它们的体积相等，则圆锥的轴截面的顶角是（　　）

• A．arccos

  3

  4

• B．arccos

  4

  5

• C．arccos

  3

  5

• D．arccos

  5

  5

Answer 1

分析：根据圆锥和半球有公共的底面，且它们的体积相等，可得圆锥高与底面半径的关系，解三角形可得答案．

解答：解：圆锥底面和半球的半径为R，圆锥的高为h
则由它们的体积相等，可得

2

3

πR3=

1

3

πR2h
即h=2R
设圆锥的轴截面的顶角是2α
则tanα=

R

2R

=

1

2

则cos2α=

1-tan2α

1+tan2α

=

3

5

故圆锥的轴截面的顶角2α=arccos

3

5

故选C

点评：本题考查的知识点是旋转体，球和圆锥的体积，其中根据已知求出圆锥高与底面半径的关系，是解答本题的关键．