【题目】如图,已知抛物线和,过抛物线上一点作两条直线与分别相切于两点,分别交抛物线于两点.
(1)当的角平分线垂直轴时,求直线的斜率;
(2)若直线在轴上的截距为,求的最小值.
【答案】(1);(2)-11.
【解析】
(1)法一:根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时,点H(4,2),可得kHE=﹣kHF,设E(x1,y1),F(x2,y2),可得y1+y2=﹣2yH=﹣4,从而可求直线EF的斜率;
法二:求得直线HA的方程为y=x﹣4+2,与抛物线方程联立,求出E,F的坐标,从而可求直线EF的斜率;
(2)法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),求出直线HA的方程,直线HB的方程,从而可得直线AB的方程,令x=0,可得t=4y0﹣(y0≥1),再利用导数法,即可求得t的最小值.
法二:求以H为圆心,HA为半径的圆方程,⊙M方程,两方程相减,可得直线AB的方程,当x=0时,直线AB在y轴上的截距t=4m﹣(m≥1),再利用导数法,即可求得t的最小值.
(1)法一:∵当的角平分线垂直轴时,点,
∴,
设,
∴,∴
∴,
.
法二:∵当的角平分线垂直轴时,点,
∴,可得 ,
∴直线的方程为,
联立方程组得,
∵,∴ .
同理可得 .
∴.
(2)法一:
设点,,.
以为圆心,为半径的圆方程为:,①
方程:.②
①-②得:直线的方程为.
当时,直线在轴上的截距,
∵关于的函数在[1,+∞)单调递增,
∴.
法二:设,∵,∴,
可得,直线的方程为,
同理,直线的方程为,
∴ ,
∴直线的方程为,
令,可得,
∵关于的函数在[1,+∞)单调递增,
∴.
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【题目】已知圆经过点, ,且圆心在直线上.
(1)求圆的方程;
(2)过点的直线与圆交于两点,问在直线上是否存在定点,使得恒成立?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知某手机品牌公司的年固定成本为40万元,每生产1万部手机还需要另投入16万元,设该公句一年内生产x万部并全部销售完,每1万部手机的销售收入为万元,且.
(1)写出年利润(万元)关于年产量(万部)的函数解析式;
(2)当年产量多少万部时,公司在该款手机生产获得最大利润,并求出最大利润.
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【题目】市政府招商引资,为吸引外商,决定第一个月产品免税,某外资厂该第一个月A型产品出厂价为每件10元,月销售量为6万件;第二个月,当地政府开始对该商品征收税率为 ,即销售1元要征收元)的税收,于是该产品的出厂价就上升到每件元,预计月销售量将减少p万件.
(1)将第二个月政府对该商品征收的税收y(万元)表示成p的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)要使第二个月该厂的税收不少于1万元,则p的范围是多少?
(3)在第(2)问的前提下,要让厂家本月获得最大销售金额,则p应为多少?
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,圆O:与坐标轴分别交于A1,A2,B1,B2(如图).
(1)点Q是圆O上除A1,A2外的任意点(如图1),直线A1Q,A2Q与直线交于不同的两点M,N,求线段MN长的最小值;
(2)点P是圆O上除A1,A2,B1,B2外的任意点(如图2),直线B2P交x轴于点F,直线A1B2交A2P于点E.设A2P的斜率为k,EF的斜率为m,求证:2m﹣k为定值.
(图1) (图2)
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【题目】给出函数如下表,则f〔g(x)〕的值域为( )
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
g(x) | 1 | 1 | 3 | 3 |
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 4 | 3 | 2 | 1 |
A. {4,2} B. {1,3} C. {1,2,3,4} D. 以上情况都有可能
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