已知椭圆的左、右焦点分别是
、
,离心率为
,椭圆上的动点
到直线
的最小距离为2,延长
至
使得
,线段
上存在异于
的点
满足
.
(1) 求椭圆的方程;
(2)
求点的轨迹
的方程;
(3)
求证:过直线上任意一点必可以作两条直线
与的轨迹
相切,并且过两切点的直线经过定点.
(1);(2)
;(3)直线经过定点(1,0).
【解析】本试题主要考查了圆与直线,以及椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系的综合运用。
解:(1)依题意得, ………………………………………………2分
解得,∴
……………………………………………………………3分
椭圆的方程为 …………………………………………………………………4分
(2)解法1:设点T的坐标为(x,y).
当重合时,点
坐标为
和点
,
…………………………………5分
当不重合时,由
,得
. ……………………………6分
由及椭圆的定义,
, …………7分
所以为线段
的垂直平分线,T为线段
的中点
在中,
, …………………………………………8分
所以有.
综上所述,点的轨迹C的方程是
. …………………………………9分
(3)
直线与
相离,
过直线上任意一点可作圆
的两条切线
…………10分
所以
所以O,E,M,F四点都在以OM为直径的圆上, …………………………11分
其方程④ …………………………12分
EF为两圆的公共弦,③-④得:EF的方程为4X+ty -4=0 ………13分
显然无论t为何值,直线ef经过定点(1,0). ………………14分
科目:高中数学 来源: 题型:
1 |
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2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
已知椭圆的左、右焦点分别为
,其右准线上
上存在点
(点
在
轴上方),使
为等腰三角形.
⑴求离心率的范围;
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年山东省高三下学期假期检测考试理科数学试卷 题型:解答题
已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,
点
是椭圆的一个顶点,△
是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点分别作直线
,
交椭圆于
,
两点,设两直线的斜率分别为
,
,且
,证明:直线
过定点(
).
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年福建省三明市高三上学期三校联考数学理卷 题型:解答题
(本题满分14分) 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,其中
F2也是抛物线的焦点,M是C1与C2在第一象限的交点,且
(I)求椭圆C1的方程; (II)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上,顶点B、D在直线上,求直线AC的方程。
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年云南省德宏州高三高考复习数学试卷 题型:解答题
(本小题满分12分)
已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,离心率
,右准线方程为
.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)过点的直线
与该椭圆交于M、N两点,且
,求直线
的方程.
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