Question

如图，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右两焦点分别为F₁，F₂，离心率e=

1

2

．设P（x₀，y₀）为椭圆上第一象限内的点，△PF₁F₂的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l：3x₀x+4y₀y-12=0分别与直线x=±2交于C、D两点．
（1）判断直线l与椭圆E交点的个数；
（2）试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以CD为直径的圆恒过该定点？若存在，求出此定点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ） 由题知：e=

c

a

=

1

2

，由△PF₁F₂的周长为6，可得2a+2c=6，又b²=a²-c²，联立解得即可．
（ II）（1）证法一：把直线方程与椭圆方程联立可得

3x02+4y02

4

x2-6x0x+12-4y02=0，利用

x02

4

+

y02

3

=1，化为x2-2x0x+x02=0，解得x=x₀，即可得出．
证法二：由于点P在第一象限内，由

x2

a2

+

y2

b2

=1⇒y=

b2- b2 a2 x2

⇒y′=

- b2 a2 x

b2- b2 a2 x2

．过点P与椭圆C相切的直线斜率k=y′|_x=x0．即可判断出；
（2）令x=2得 C(2，

6-3x0

2y0

)，令x=-2得D(-2，

6+3x0

2y0

)．利用中点坐标公式可得CD的中点为(0，

3

y0

)，即可得出CD为直径的圆方程为x2+(y-

3

y0

)2=

9x02+16y02

4y02

． 利用3x02+4y02=12，上式化简得y0(x2+y2-1)-6y=0．即可得出．

解答： （Ⅰ） 解：由题知：e=

c

a

=

1

2

，
又∵△PF₁F₂的周长为6，
∴2a+2c=6，
解得a=2，c=1．
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（ II）（1）证法一：
由

3x2+4y2=12 y= 3 y0 (1- xx0 4 )

，
消去y并整理得

3x02+4y02

4

x2-6x0x+12-4y02=0，
又∵

x02

4

+

y02

3

=1，即4y02=12-3x02，
得x2-2x0x+x02=0，解得x=x₀，
因此直线l与椭圆E只有一个交点．
证法二：∵点P在第一象限内，
由

x2

a2

+

y2

b2

=1⇒y=

b2- b2 a2 x2

⇒y′=

- b2 a2 x

b2- b2 a2 x2

．
过点P与椭圆C相切的直线斜率k=y′|_x=x0．
因此直线l与椭圆E相切，
故直线l与椭圆E只有一个交点．
（2）解：令x=2得y C=

3

y0

(1-

x0

2

)，即 C(2，

6-3x0

2y0

)，
令x=-2得y D=

3

y0

(1+

x0

2

)，即D(-2，

6+3x0

2y0

)．
∴CD的中点为(0，

3

y0

)，|CD|=

16+ 9 x 2 0 y 2 0

．
故以CD为直径的圆方程为x2+(y-

3

y0

)2=

9x02+16y02

4y02

．  
又∵3x02+4y02=12，上式化简得y0(x2+y2-1)-6y=0．
令

x2+y2-1=0 -6y=0

，
解得

x=1 y=0

或

x=-1 y=0

．
故CD为直径的圆恒过点（1，0）和（-1，0）．

点评：本题综合考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切转化为方程联立利用△=0、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了圆过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．