分析 (1)由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由图象与y轴的交点为(0,1)求出φ的值,可得函数的解析式,利用正弦函数的单调性可求单调递增区间;
(2)在同一坐标系中画出y=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)和直线y=m(m∈R)的图象,结合正弦函数的图象的特征,数形结合求得实数m的取值范围和这两个根的和.
解答 (本题满分为15分)
解:(1)由题意可得:A=2,
由在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为(x0,2),(x0+$\frac{π}{2}$,-2),可得:
$\frac{T}{2}$=(x0+$\frac{π}{2}$)-x0=$\frac{π}{2}$,可得:T=π,
∴ω=2,可得:f(x)=2sin(x+φ),
又∵图象与y轴的交点为(0,1),可得:2sinφ=1,解得:sinφ=$\frac{1}{2}$,
∵|φ|<$\frac{π}{2}$,可得:φ=$\frac{π}{6}$,
∴函数f(x)的解析式为:f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)…4分
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,可得:kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$,k∈Z,
可解得f(x)的单调递增区间是:[kπ-$\frac{π}{3}$,kπ+$\frac{π}{6}$],k∈Z…8分
(2)如图所示,在同一坐标系中画出y=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)和y=m(m∈R)的图象,
由图可知,当-2<m≤0或1≤m<2时,直线y=m与曲线有两个不同的交点,即原方程有两个不同的实数根,
当-2<m≤0时,两根和为$\frac{4π}{3}$;
当1≤m<2时,两根和为$\frac{π}{3}$…15分
点评 本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,考查了正弦函数的图象的特征,属于中档题.
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A. | ∅ | B. | {3} | C. | {2,3} | D. | {0,1,2,3} |
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2x-$\frac{π}{3}$ | -$\frac{4π}{3}$ | -π | -$\frac{π}{2}$ | 0 | $\frac{π}{2}$ | $\frac{2π}{3}$ |
x | -$\frac{π}{2}$ | -$\frac{π}{3}$ | -$\frac{π}{12}$ | $\frac{π}{6}$ | $\frac{5π}{12}$ | $\frac{π}{2}$ |
f(x) |
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A. | sin$\frac{19π}{8}$<cos$\frac{14π}{9}$ | B. | sin(-$\frac{54π}{7}$)<sin(-$\frac{63π}{8}$) | ||
C. | tan(-$\frac{13π}{4}$)>tan(-$\frac{17π}{5}$) | D. | tan138°>tan143° |
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A. | -4≤a≤9 | B. | a≤-4或a≥9 | C. | -9≤a≤4 | D. | a≤-9或a≥4 |
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A. | 12 | B. | 14 | C. | 3 | D. | 21 |
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