精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)的图象与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为(x0,2),(x0+$\frac{π}{2}$,-2).
(1)求函数y=f(x)的解析式和单调递增区间;
(2)若当0≤x≤$\frac{11π}{12}$时,方程f(x)-m=0有两个不同的实数根α,β,试讨论α+β的值.

分析 (1)由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由图象与y轴的交点为(0,1)求出φ的值,可得函数的解析式,利用正弦函数的单调性可求单调递增区间;
(2)在同一坐标系中画出y=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)和直线y=m(m∈R)的图象,结合正弦函数的图象的特征,数形结合求得实数m的取值范围和这两个根的和.

解答 (本题满分为15分)
解:(1)由题意可得:A=2,
由在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为(x0,2),(x0+$\frac{π}{2}$,-2),可得:
$\frac{T}{2}$=(x0+$\frac{π}{2}$)-x0=$\frac{π}{2}$,可得:T=π,
∴ω=2,可得:f(x)=2sin(x+φ),
又∵图象与y轴的交点为(0,1),可得:2sinφ=1,解得:sinφ=$\frac{1}{2}$,
∵|φ|<$\frac{π}{2}$,可得:φ=$\frac{π}{6}$,
∴函数f(x)的解析式为:f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)…4分
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,可得:kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$,k∈Z,
可解得f(x)的单调递增区间是:[kπ-$\frac{π}{3}$,kπ+$\frac{π}{6}$],k∈Z…8分
(2)如图所示,在同一坐标系中画出y=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)和y=m(m∈R)的图象,
由图可知,当-2<m≤0或1≤m<2时,直线y=m与曲线有两个不同的交点,即原方程有两个不同的实数根,
当-2<m≤0时,两根和为$\frac{4π}{3}$;
当1≤m<2时,两根和为$\frac{π}{3}$…15分

点评 本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,考查了正弦函数的图象的特征,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

5.已知动点P(x,y)到定点A(2,0)的距离与到定直线l:x=-2的距离相等.
(Ⅰ) 求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(-3,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

6.高为$\sqrt{2}$的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S,A,B,C,D均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$..

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

3.设全集U={x|x<4,x∈N},A={0,1,2},B={2,3},则B∪(∁UA)等于(  )
A.B.{3}C.{2,3}D.{0,1,2,3}

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

10.某同学用“五点法”画函数$f(x)=2sin(2x-\frac{π}{3})+1$在区间[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$]上的图象时,列表并填入了部分数据,如表:
2x-$\frac{π}{3}$-$\frac{4π}{3}$-$\frac{π}{2}$0$\frac{π}{2}$$\frac{2π}{3}$
x-$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$$\frac{π}{6}$$\frac{5π}{12}$$\frac{π}{2}$
f(x)
(1)请将上表数据补充完整,并在给出的直角坐标系中,画出f(x)在区间[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$]上的图象;
(2)利用函数的图象,直接写出函数f(x)的单调递增区间.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

20.下列三角函数值大小比较正确的是(  )
A.sin$\frac{19π}{8}$<cos$\frac{14π}{9}$B.sin(-$\frac{54π}{7}$)<sin(-$\frac{63π}{8}$)
C.tan(-$\frac{13π}{4}$)>tan(-$\frac{17π}{5}$)D.tan138°>tan143°

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

7.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,过E点做EF⊥PB交PB于点F.求证:
(1)PA∥平面DEB;
(2)PB⊥平面DEF.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

4.已知点A(2,1)和B(-1,3),若直线3x-2y-a=0与线段AB相交,则a的取值范围是(  )
A.-4≤a≤9B.a≤-4或a≥9C.-9≤a≤4D.a≤-9或a≥4

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

5.若椭圆$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{9}=1和双曲线\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1$的共同焦点为F1、F2,P是两曲线的一个交点,则|PF1|•|PF2|的值为(  )
A.12B.14C.3D.21

查看答案和解析>>

同步练习册答案