Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，设直线过椭圆的上顶点和右焦点，坐标原点到直线的距离为2.

（1）求椭圆的方程.

（2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）.根据过椭圆的上顶点和右顶点，得到的方程为，根据点到直线的距离为2结合离心率求解.

（2）设直线的方程为，，.联立方程组消去得，，将韦达定理代入上式研究与m无关即可.

（1）设椭圆的半焦距为，根据题意，得.

因为过椭圆的上顶点和右顶点，所以的方程为，即.

又由点到直线的距离为2，得，所以.

设，，则，解得，从而，

所以椭圆的方程为.

（2）依题意设直线的方程为，，.

联立方程组，消去得，

，

所以，，

，

.

假设存在定点，使得直线，的斜率之积为非零常数，

则.

要使为非零常数，当且仅当，即时成立，

此时，，

所以轴的正半轴上存在定点，使得直线，的斜率之积为常数.