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已知点A是椭圆数学公式的左顶点,直线l:x=my+1(m∈R)与椭圆C相交于E,F两点,与x轴相交于点B.且当m=0时,△AEF的面积为数学公式
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线AE,AF与直线x=3分别交于M,N两点,试判断以MN为直径的圆是否经过点B?并请说明理由.

解:(1)当m=0时,直线l的方程为x=1,设点E在x轴上方,
解得,所以
左顶点为(-3,0),
因为△AEF的面积为,解得t=2.
所以椭圆C的方程为
(2)由得(2m2+9)y2+4my-16=0,显然m∈R.
设E(x1,y1),F(x2,y2),
,x1=my1+1,x2=my2+1.
又直线AE的方程为
解得,同理得
所以
又因为==
===0.
所以,所以以MN为直径的圆过点B.
分析:(1)m=0时直线l的方程与椭圆方程联立解得E,F坐标,从而可表示出|EF|的长,根据,△AEF的面积为得到关于t的方程,解出即可.
(2)由消x得到关于y的一元二次方程,设E(x1,y1),F(x2,y2),由韦达定理可用m表示y1,y2,根据已知条件可求出M,N坐标,判断以MN为直径的圆是否经过点B,只需判断是否有,进而转化为是否有,通过计算即可验证.
点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆的标准方程,考查学生的运算能力,考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力,综合性较强,有一定难度.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知F1、F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,右焦点F2(c,0)到上顶点的距离为2,若a2=
6
c,
(1)求此椭圆的方程;
(2)点A是椭圆的右顶点,直线y=x与椭圆交于M、N两点(N在第一象限内),又P、Q是此椭圆上两点,并且满足(
NP
|
NP
|
+
NQ
|
NQ
|
)•
F1F2
=0
,求证:向量
PQ
AM
共线.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知F1、F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的左、右焦点,P是此椭圆上的一动点,并且
PF1
PF2
的取值范围是[-
4
3
4
3
]

(Ⅰ)求此椭圆的方程;
(Ⅱ)点A是椭圆的右顶点,直线y=x与椭圆交于B、C两点(C在第一象限内),又P、Q是椭圆上两点,并且满足(
CP
|
CP
|
+
CQ
|
CQ
|
)•
F1F2
=0
,求证:向量
PQ
AB
共线.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
3
2
,一个焦点坐标为F(-
3
,0)

(1)求椭圆C1的方程;
(2)点N是椭圆的左顶点,点P是椭圆C1上不同于点N的任意一点,连接
NP并延长交椭圆右准线与点T,求
TP
NP
的取值范围;
(3)设曲线C2:y=x2-1与y轴的交点为M,过M作两条互相垂直的直线与曲线C2、椭圆C1相交于点A、D和B、E,(如图),记△MAB、
△MDE的面积分别是S1,S2,当
S1
S2
=
27
64
时,求直线AB的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点A是椭圆C:
x2
9
+
y2
t
=1(t>0)
的左顶点,直线l:x=my+1(m∈R)与椭圆C相交于E,F两点,与x轴相交于点B.且当m=0时,△AEF的面积为
16
3

(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线AE,AF与直线x=3分别交于M,N两点,试判断以MN为直径的圆是否经过点B?并请说明理由.

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