田忌和齐王赛马是历史上著名的故事．设齐王的三匹马分别记为a1，a2，a3，田忌的三匹马分别记为b1，b2，b3，三匹马各比赛一场，胜两场者获胜．若这六匹马比赛优劣程度可用不等式a1＞b1＞a2＞b2＞a3＞b3表示．
（Ⅰ）如果双方均不知道比赛的对阵方式，求田忌获胜的概率；
（Ⅱ）田忌为了得到更大的获胜概率，预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马，那么，田忌应该怎样安排出马顺序，才能使自己获胜的概率最大？最大概率是多少？
解：法一：记a
i与b
j的比赛为（a
i，b
j），（i，j=1，2，3）
（Ⅰ）齐王与田忌赛马，有如下六种情况：
（a
1，b
1）、（a
2，b
2）、（a
3，b
3），（a
1，b
1）、（a
2，b
3）、
（a
3，b
2），（a
2，b
1）、（a
1，b
2）、（a
3，b
3），（a
2，b
1）、
（a
1，b
3）、（a
3，b
2），（a
3，b
1）、（a
1，b
2）、（a
2，b
3），
（a
3，b
1）、（a
1，b
3）、（a
2，b
2）． （3分）
其中田忌获胜的只有一种（a
2，b
1）、（a
1，b
3）、（a
3，b
2），
所以田忌获胜的概率为
．（6分）
（Ⅱ）已知齐王第一场必出上等马a
1，若田忌第一场出上等马b
1或中等马b
2，则剩下两场中至少输掉一场，这时田忌必败．
为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马b
3，后两场有两种情形：
①若齐王第二场派出中等马a
2，可能对阵情形是（a
2，b
1）、（a
3，b
2）或者（a
2，b
2）、（a
3，b
1），所以田忌获胜的概率为
；（9分）
②若齐王第二场派出下等马a
3，可能对阵情形是（a
3，b
1）、（a
2，b
2）或者（a
3，b
2）、（a
2，b
1），所以田忌获胜的概率为
，
所以田忌按b
3，b
1，b
2或者b
3，b
2，b
1的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大值
．（12分）
法二：各种对阵情况列成下列表格：
（3分）
（Ⅰ）其中田忌获胜的只有第五种这一种情形，所以田忌获胜的概率为
．（6分）
（Ⅱ）为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马b
3，
即只能是第五、第六两种情形． （9分）
其中田忌获胜的只有第五种这一种情形，
所以田忌按b
3，b
1，b
2或者b
3，b
2，b
1的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大值
．（12分）
分析：方法一：用列举法，根据题意，记a
i与b
j的比赛为（a
i，b
j），
（Ⅰ）列举比赛的可能情况，根据题意，查找可得田忌获胜的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，在（Ⅰ）列举的情况中，查找，分2种情况讨论后两场有两种情形，进而可得答案；
方法二：用列表法，根据题意，将各种比赛的情况用表格表示出来；
（Ⅰ）由所列的表格，查找可得田忌获胜的情况数目，进而计算可得答案；
（Ⅱ）由所列的表格，结合古典概型的概率的计算公式，易得答案．
点评：本题考查列举法计算概率以及概率的应用，因涉及列举法，解题列举时，务必做到不重不漏，有时可以借助排列、组合来验证所列举的情况数目，提高解题的准确度．
