Question

已知函数f（x）=x³-mx+5，x∈R，在x=

+ -

2

处取得极值．
（Ⅰ）过点A（1，0）作曲线y=f（x）的切线，求切线方程．
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出f'（x），因为函数在x=±

2

处取得极值，即得到f'（

2

）=f'（-

2

）=0，代入求出m得到函数解析式，然后判断点A（1，0）不在曲线上，设切点为M（x₀，y₀），分别代入导函数和函数中写出切线方程，因为A点在切线上，把A坐标代入求出切点坐标即可求出切线方程．
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，则y=f（x）图象与y=a图象必有3个不同的交点，a应该介于函数的极小值与极大值之间．

解答：解：（I）f'（x）=3x²-m，依
题意，f'（

2

）=f'（-

2

）=0，
即 3（

2

）²-m=0解得m=6．
∴f（x）=x³-6x+5，曲线方程为y=x³-6x+5，设切点为M（x₀，y₀），
则点M的坐标满足y₀=x₀³-6x₀+5．因f'（x₀）=3（x₀²-2），
故切线的方程为y-y₀=3（x₀²-2）（x-x₀）
注意到点A（1，0）在切线上，有0-（x₀³-6x₀+5）=3（x₀²-2）（1-x₀）
解得x₀=1或x₀=-

1

2

．
所以，切点为M（1，0），此时切线方程为y=-3x+3；
或切点为M（-

1

2

，

63

8

），此时切线方程为y=-

21

4

x+

21

4

；
（II）对函数f（x）=x³-6x+5求导，得函数f′（x）=3x²-6
令f′（x）＞0，即3x²-6＞0，解得x＞

2

，或x＜-

2

f′（x）＜0，即3x²-6＜0，解得-

2

＜x＜

2

f′（x）=0，即3x²-6=0，解得x=

2

，或x=-

2

，
f（-

2

）=5+4

2

，f（

2

）=5-4

2

，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-

2

）及（

2

，+∞），单调递减区间是（-

2

，

2

）
当x=-

2

，f（x）有极大值5+4

2

；当x=

2

，f（x）有极小值5-4

2

当5-4

2

＜a＜5+4

2

时，直线y=a与y=f（x）的图象有3个不同交点，此时方程f（x）=a有3个不同实根．
∴实数a的取值范围为（5-4

2

，5+4

2

）．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及利用导数研究曲线上某点的切线方程的能力，属于中档题．