Question

3．已知函数f（x）=2x³+$\frac{3}{2}$tx²-3t²x+$\frac{t-1}{2}$，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）当t≠0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

Answer 1

分析 （I）当t=1时，求出函数f（x），利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；
（II）根据f'（x）=0，解得x=-t或x=$\frac{t}{2}$，讨论t的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出单调区间即可；
（III）根据函数的单调性分两种情况讨论，当$\frac{t}{2}$≥1与当0＜$\frac{t}{2}$＜1时，研究函数的单调性，然后根据区间端点的符号进行判定对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点从而得到结论．

解答 解：（I）当t=1时，f（x）=2x³+$\frac{3}{2}$x²-3x，f（0）=0，
f'（x）=6x²+3x-3，f'（0）=-3，
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-3x；
（II）解：f'（x）=6x²+3tx-3t²，
f'（x）=0，解得x=-t或x=$\frac{t}{2}$，
∵t≠0，以下分两种情况讨论：
（1）若t＜0，则$\frac{t}{2}$＜-t，∴f（x）的单调增区间是（-∞，$\frac{t}{2}$），（-t，+∞）；
f（x）的单调减区间是（$\frac{t}{2}$，-t）；
（2）若t＞0，则$\frac{t}{2}$＞-t，∴f（x）的单调增区间是（-∞，-t），（$\frac{t}{2}$，+∞）；
f（x）的单调减区间是（-t，$\frac{t}{2}$）；
（III）证明：由（II）可知，当t＞0时，f（x）在（0，$\frac{t}{2}$）内单调递减，
在（$\frac{t}{2}$，+∞）内单调递增，以下分两种情况讨论：
（1）当$\frac{t}{2}$≥1，即t≥2时，f（x）在（0，1）内单调递减．
f（0）=$\frac{1}{2}$（t-1）＞0，f（1）=-3t²+2t+$\frac{3}{2}$＜0，
所以对于任意t∈[2，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
（2）当0＜$\frac{t}{2}$＜1，即0＜t＜2时，f（x）在（0，$\frac{t}{2}$）内单调递减，
在（$\frac{t}{2}$，1）内单调递增；
若t∈（0，1]，f（$\frac{t}{2}$）=-$\frac{7}{8}$t³+$\frac{1}{2}$（t-1）≤-$\frac{7}{8}$t³＜0，
f（1）=-3t²+2t+$\frac{3}{2}$≥-t+$\frac{3}{2}$＞0，
所以f（x）在（$\frac{t}{2}$，1）内存在零点．
若t∈（1，2），f（$\frac{t}{2}$）=-$\frac{7}{8}$t³+$\frac{1}{2}$（t-1）＜-$\frac{7}{8}$t³+1＜0，f（0）=$\frac{1}{2}$（t-1）＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{t}{2}$）内存在零点．
所以，对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
综上，对于任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

点评 本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想．