Question

3．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为$ρ（sinθ+\sqrt{3}cosθ）=4\sqrt{3}$，若射线θ=$\frac{π}{6}$，θ=$\frac{π}{3}$分别与l交于A，B两点．
（1）求|AB|；
（2）设点P是曲线C：x²+$\frac{y^2}{9}$=1上的动点，求△ABP面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）令$θ=\frac{π}{6}$，解得$ρ=2\sqrt{3}$，令$θ=\frac{π}{3}$，解得ρ=4，由此能求出A，B的极坐标，再求出$∠BAO=\frac{π}{2}$，由此能求出|AB|．
（2）求出$d=\frac{{|3sinα+\sqrt{3}cosα-4\sqrt{3}|}}{2}$$≤3\sqrt{3}$，由此能求出△ABP面积的最大值．

解答 解：（1）直线$l：ρ•sin（θ+\frac{π}{3}）=2\sqrt{3}$，
令$θ=\frac{π}{6}$，解得$ρ=2\sqrt{3}$，
∴$A（2\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$，
令$θ=\frac{π}{3}$，解得ρ=4，
∴$B（4，\frac{π}{3}）$
又∵$∠AOB=\frac{π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}，OA=2\sqrt{3}，OB=4$，
∴$∠BAO=\frac{π}{2}$，∴|AB|=2．
（2）∵直线$l：\sqrt{3}x+y=4\sqrt{3}$，曲线$C：\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=3sinα\end{array}\right.$，
∴$d=\frac{{|3sinα+\sqrt{3}cosα-4\sqrt{3}|}}{2}$=$\frac{{|2\sqrt{3}sin（α+\frac{π}{6}）-4\sqrt{3}|}}{2}$$≤\frac{{|-2\sqrt{3}-4\sqrt{3}|}}{2}=3\sqrt{3}$
当且仅当$α+\frac{π}{6}=2kπ-\frac{π}{2}$，即$α=2kπ-\frac{2}{3}π$时，取“=”，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|AB|•d≤\frac{1}{2}•2•3\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
∴△ABP面积的最大值为3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查弦长的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化公式、点到直线的距离公式的合理运用．