Question

（2012•吉林二模）已知两定点F₁（-1，0），F₂（1，0），满足|

PF1

|+|

PF2

|=4的动点P的轨迹是曲线C．
（Ⅰ） 求曲线C的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=-x+b与曲线C交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知，曲线C是以F₁，F₂为焦点的椭圆．故a=2，c=1，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设直线l与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程

y=-x+b 3x2+4y2=12

，得7x²-8bx+4b²-12=0，因为△=48（7-b²）＞0，所以b²＜7，再由韦达定理和点到直线的距离公式结合题设条件能够求出△AOB面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，曲线C是以F₁，F₂为焦点的椭圆．
∴a=2，c=1，∴b²=3，
故曲线C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．…（3分）
（Ⅱ）设直线l与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程

y=-x+b 3x2+4y2=12

，
得7x²-8bx+4b²-12=0，…（4分）
因为△=48（7-b²）＞0，
解得b²＜7，且x1+x2=

8b

7

，x1x2=

4b2-12

7

，（5分）
∵点O到直线l的距离d=

|b|

2

，…（6分）
|AB|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 6

7

7-b2

，…（9分）
∴S△AOE=

1

2

•

|b|

2

•

4 6

7

•

7-b2

=

2 3

7

b2(7-b2)

≤

3

．…（10分）
当且仅当b²=7-b²，即b2=

7

2

＜7时，取到最大值．
∴△AOB面积的最大值为

3

．…（12分）

点评：本题考是曲线方程的求法，考要三角形最大面积的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线距离公式、根的判别式、韦达定理的合理运用．