Question

【题目】已知数列{an}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{bn}的前n项和为Sn ， 且有Sn=2bn﹣1．
（1）求{an}、{bn}的通项公式；
（2）若cn=anbn ， {cn}的前n项和为Tn ， 求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵{an}是等差数列，且a3=5，a7=13，设公差为d．

∴ ，解得

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1（n∈N*）

在{bn}中，∵Sn=2bn﹣1

当n=1时，b1=2b1﹣1，∴b1=1

当n≥2时，由Sn=2bn﹣1及Sn﹣1=2bn﹣1﹣1，

得bn=2bn﹣2bn﹣1，∴bn=2bn﹣1

∴{bn}是首项为1公比为2的等比数列

∴ （n∈N*）

（2）解：∵ ，

∴ ① ②

①﹣②得

=

=1+4（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）2n=﹣3﹣（2n﹣3）2n

∴ （n∈N*）

【解析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式能求出首项和公差，由此能求出an=2n﹣1（n∈N*）；由Sn=2bn﹣1，能推导出{bn}是首项为1公比为2的等比数列，由此求出 （n∈N*）．（2）由 ，利用错位相减法能求出{cn}的前n项和为Tn ．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和等差数列的性质的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列才能正确解答此题．